利率變動下，終值(future value)計算方式

終值指的就是未來的價值，常用於金融資產定價。終值的計算仰賴利率作為計算參數，而現實世界的利率是會變動的。為了估計資產的終值，有時需要假設利率會隨時間改變。

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找到自然常數，e

在利率不變的狀況下，假設定存年利率為100%(雖然不切實際，但是只是舉例)，100元的存款1年後的價值(終值)是200元(本金100元加利息100元)。

這個終值的公式就是：

100(1 + 100%) = 200

換成月利率計算，公式就變成：

100(1 + 1/12)^12= 261.30353

換成週利率(1年48週)，公式就變成：

100(1 + 1/48)^48 =269.04966

換成日利率(1年365天)，公式就變成：

100(1 + 1/365)^365 =271.45675

以此類推，時隔越來越短，同時計算次數變多。把時隔切到無線小，也就是微分，公式變成(n趨近無限大)：

現值 = lim 100(1 + 1/n)^n =100*lim(1 + 1/n)^n  = 100*e = 271.82818

當n趨近無線大lim(1 + 1/n)^n就是自然常數，e。

假設存款時間變長

現在把100元從存款1年改成存款2年，利率100%不變，2年後可以拿到本金加利息400元，因為100(1 + 100%)^2 = 400。

換成月利率計算，公式就變成(2年有24個月)：

100(1 + 1/12)^24= 682.79534

換成週利率，公式就變成(2年有96週)：

100(1 + 1/48)^96 = 723.87719

換成日利率(2年730天)，公式就變成：

100(1 + 1/365)^730 =736.88766

以此類推，取微分：

現值 = lim 100(1 + 1/n)^2n =100 * lim(1 + 1/n)^2n  = 100*lim((1 + 1/n)^n)2 = 100e^2 = 738.90561

這邊把存款時間長短叫做t，公式為：

現值 = lim 100(1 + 1/n)^tn  = 100*lim((1 + 1/n)^n)t = 100e^t

假設利率降低

繼續假設存款2年，不過存款利率砍半，變成50%。存款2年後終值為100(1 + 0.5)^2 = 225。

換成月利率計算，公式就變成(2年有24個月)：

100(1 + 0.5/12)^24= 266.37313

換成週利率，公式就變成(2年有96週)：

100(1 + 0.5/48)^96 =270.42580

換成日利率(2年有730天)，公式就變成：

100(1 + 0.5/365)^730 =271.64223

這時候，我們發現存款2年利率50%與存款1年利率100%，在都用日利率計算的狀況下，終值非常接近，都趨近於e；也就是說，終值的公式可以寫成Ae^rt，這邊的A是本金、r是利率，而t是時間長短。假設本金皆為100，兩者算式如下表：

存款期限(t)	年利率(r)	終值(FV)
1年	100%	100e^(100%*1) = 100e =271.83
2年	50%	100e^(50%*2) = 100e = 271.83

利率改變時

有了終值為Ae^rt這個公式，我們已準備好用積分的方式，在利率變動的狀況下，求算終值。(A是本金、r是利率、t是時間長短)

若r是一個常數，rt就是一個長方形的面積；如果利率隨時間變動，也就是r = f(t)，就可以使用積分公式算出終值：

有了這個公式，我們就可以假設利率會隨著時間變化，並計算出金融資產的終值，舉例來說， r = 0.01t，也就是開始利率為0，之後等比例上升。假設本金為100元，t為3，算式為：

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