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中央極限定理(central limit theorem)證明

中央極限定理(central limit theorem )指的是從一個獨立同分布(Independent and identically distributed, i.i.d)取出之變數數量趨近無限多時，其平均數(mean)將趨近常態分布(normal distribution)。

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目錄：
動差母函數為機率密度函數(probability density fFunction, PDF）及累積分佈函數(cumulative distribution function CDF)之外，另一種描述機率分布模型的一種方式。

定義

MX(t) = E[etx]
而etx的泰勒級數(Taylor series)為
etx = 1 + tx + t2x2/2! + t3x3/3! + ...
則MX(t)的泰勒級數為
MX(t) = E[etx] = 1 + tE[x] + t2/2! E[x2] + t3/3! E[x3] + ...
因此，當t = 0時，以t取動差母函數m次微分，就可以找到其分布模型的第m動差。

特性

MX+Y(t) = E[et(x+y)] = E[etx+ty] = E[etxety]  = E[etx] E[ety] = MX(t) MY(t) 

常態分布的動差母函數

常態分布的動差母函數為
標準常態分布的動差母函數為

中央極限定理證明

只要兩個分布模型所有的動差相同，兩者就是同一種分布模型，舉例來說第1動差E[X]就是平均值，而E[X2]-E[X]2就是變異數，兩分布模型相同，它們的平均值及變異數一定相同，所以，只要持續找兩分布的動差並比較，就可以知道是否相同，換句花說，只要兩個分布模型有一點點不一樣，它們某個動差絕對不同。

因此，假設S = (x1+x2+x3+...+xn) / n，需要證明當n趨近無限大時，S及常態分布兩者的動差母函數完全相同。

結論

講白話一點，中央極限定理證明就是：
  • 兩分布有相同動態母常數，則兩分布相同，若不同，必定找得到一動差不同。
  • 任何一分布之抽樣平均，當抽樣數趨近無限大時，抽樣平均動差母常數將趨近某一標準分布之動差母常數，故抽樣平均遵循某一標準分布，此證。

中央極限定理模擬

中央極限定理應用

可參考：股票走勢模擬

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