中央極限定理(central limit theorem)證明

中央極限定理(central limit theorem )指的是從一個獨立同分布(Independent and identically distributed, i.i.d)取出之變數數量趨近無限多時，其平均數(mean)將趨近常態分布(normal distribution)。

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動差母函數(moment generating function)
常態分布的動差母函數
中央極限定理證明
中央極限定理模擬
中央極限定理應用

動差母函數(moment generating function)

動差母函數為機率密度函數(probability density fFunction, PDF）及累積分佈函數(cumulative distribution function CDF)之外，另一種描述機率分布模型的一種方式。

定義

M_X(t) = E[e^tx]

而e^tx的泰勒級數(Taylor series)為

e^tx = 1 + tx + t²x²/2! + t³x³/3! + ...

則M_X(t)的泰勒級數為

M_X(t) = E[e^tx] = 1 + tE[x] + t²/2! E[x²] + t³/3! E[x³] + ...

因此，當t = 0時，以t取動差母函數m次微分，就可以找到其分布模型的第m動差。

特性

M_X+Y(t) = E[e^t(x+y)] = E[e^tx+ty] = E[e^txe^ty] = E[e^tx] E[e^ty] = M_X(t) M_Y(t)

常態分布的動差母函數

常態分布的動差母函數為

標準常態分布的動差母函數為

中央極限定理證明

只要兩個分布模型所有的動差相同，兩者就是同一種分布模型，舉例來說第1動差E[X]就是平均值，而E[X²]-E[X]²就是變異數，兩分布模型相同，它們的平均值及變異數一定相同，所以，只要持續找兩分布的動差並比較，就可以知道是否相同，換句花說，只要兩個分布模型有一點點不一樣，它們某個動差絕對不同。

因此，假設S = (x₁+x₂+x₃+...+x_n) / n，需要證明當n趨近無限大時，S及常態分布兩者的動差母函數完全相同。

結論

講白話一點，中央極限定理證明就是：

兩分布有相同動態母常數，則兩分布相同，若不同，必定找得到一動差不同。
任何一分布之抽樣平均，當抽樣數趨近無限大時，抽樣平均動差母常數將趨近某一標準分布之動差母常數，故抽樣平均遵循某一標準分布，此證。

中央極限定理模擬

可參考：中央極限定理 (central limit theorem)之用均勻分布(uniform distribution)模擬常態分布(normal distribution)

中央極限定理應用

可參考：股票走勢模擬

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