賭徒破產理論(Gambler's ruin)機率公式證明

賭徒破產理論(Gambler's ruin)指指的是兩位賭徒，每局賭1元，A賭徒有i元，B賭徒有n-i元，兩人不斷的賭，直到一人輸光為止。

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前言

假設A賭徒勝率為p，輸的機率就是1-p，稱為q，我們要求算A贏光所有錢的機率。

讓p(i)代表A賭徒擁有i元的時候，獲得最後勝利的機率。

p(0) = 0，因為已經輸光所有錢並且賭局已結束。

p(n) = 1，因為已經贏光所有錢並且賭局已結束。

那麼p(i)呢？

遞迴公式(recursive formula)

假設A有i元，它下一局有可能贏，有可能輸。贏的機率為p，輸的機率為1-p = q。

不論這一局是贏還是輸，A要贏光所有錢的機率還是沒有算出來。

這局贏了，接下來贏光所有錢的機率為p(i+1)。

這局輸了，接下來贏光所有錢的機率為p(i-1)。

因此，p(i) = p*p(i+1) + q*p(i-1)，且可以繼續延伸，例如p(i+1) = p*p(i+2) + q*p(i)、p(i-1) = p*p(i-) + q*p(i-2)...

每個公式需要套用原本的公式，稱為遞迴公式公式，而遞迴公式解法可以像解微分方程(differential equation)一樣，可以先用猜的！

例如dx/dt = rx，微分之後x還是在公式裡，可以先猜測x = e^y。

猜測

假設，p(i) = xⁱ，並帶入p(i) = p*p(i+1) + q*p(i-1)，得到 

xⁱ  = p*xⁱ⁺¹ + q*x^i-1

x = p*x² + q

p*x² - x + q = 0

解一元二次方程式得

x = 1 或 x = q/p

微分方程

p(i) = xⁱ，x = 1 或 x = q/p，且有兩已知數p(0) = 0 及 p(n) = 1。

而xⁱ的x有兩個根(root)，必須都帶入線性組合(linear combination)公式求解。

p(i) = A(1)ⁱ + B(q/p)ⁱ = A + B(q/p)ⁱ 

p(0) = A+ B = 0 ， A = -B

p(n) = A+ B(q/p)ⁿ  = 1

A+ B(q/p)ⁿ = -B + B(q/p)ⁿ = B(-1 + (q/p)ⁿ) = 1 

B = 1 / ( (q/p)ⁿ -1) 

A = 1 / (1 - (q/p)ⁿ)

故，

p(i) = A(1)ⁱ + B(q/p)ⁱ = 1 / (1 - (q/p)ⁿ) + (q/p)ⁱ / ( (q/p)ⁿ -1)

= ((q/p)ⁱ - 1) / ( (q/p)ⁿ -1)

這個答案僅適用當p不等於q的時候，因為我們假設x有兩個根，如果p = q，則q/p = 1，這樣的話就只有一個根了。

當p = q

如果p = q，我們可以用極限來解，也就是讓p非常接近q，得到

((q/p)ⁱ - 1) / ( (q/p)ⁿ -1) = 0 / 0

使用羅必達法則 (L'Hôpital's rule)，除數及被除術都以q/p微分，得到

i*(q/p)^i-1  / n*(q/p)^n-1  = i / n

應用

可參考：短線操作賺大錢之賭徒破產理論(gambler's ruin)

工具

賭徒破產理論機率計算可參考：賭徒破產理論機率計算

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